Dualsystem (Zweiersystem)
Im Zweiersystem, das auch Dualsystem genannt wird, werden alle Zahlen aus der 0 und der 1 gebildet, also insgesamt aus zwei unterschiedlichen Ziffern.
Die 0 und die 1 bedeuten im Dezimalsystem und im Dualsystem das gleiche. Da es im Dualsystem nur die beiden Ziffern 0 und 1 gibt, müssen alle anderen Zahlen aus diesen beiden Ziffern zusammengesetzt werden:
|
0 = |
0 |
|
1 = |
1 |
|
2 = |
10 |
|
3 = |
11 |
|
4 = |
100 |
|
5 = |
101 |
|
6 = |
110 |
|
7 = |
111 |
|
8 = |
1000 |
Bei genauer Betrachtung fällt auf, dass die Dualzahlen immer dann um eine weitere Stelle verlängert werden, wenn die nächst höhere Potenz der Zahl 2 erreicht wird.
|
2er-Potenz |
Dezimalzahl |
Dualzahl |
|
2^0 |
1 |
1 |
|
2^1 |
2 |
10 |
|
2^2 |
4 |
100 |
|
2^3 |
8 |
1000 |
|
2^4 |
16 |
10000 |
|
2^5 |
32 |
100000 |
|
2^6 |
64 |
1000000 |
|
2^7 |
128 |
10000000 |
Damit lassen sich Dualzahlen leicht in Dezimalzahlen umrechnen.
Beispiel: Dualzahl 110
|
|
100 = |
4 |
|
+ |
10 = |
2 |
|
= |
110 = |
6 |
Das Ergebnis lautet: Die Dualzahl 110 ist als Dezimalzahl die 6, denn 4 + 2 = 6.
Beispiel: Dualzahl 11010
|
|
10000 = |
16 |
|
+ |
1000 = |
8 |
|
+ |
10 = |
2 |
|
= |
11010 = |
26 |
Das Ergebnis lautet: Die Dualzahl 11010 ist als Dezimalzahl die 26, denn 16 + 8 + 2 = 26.
Beispiel: Dualzahl 10000101
|
|
10000000 = |
128 |
|
+ |
100 = |
4 |
|
+ |
1 = |
1 |
|
= |
10000101 = |
133 |
Das Ergebnis lautet: Die Dualzahl 10000101 ist als Dezimalzahl die 133, denn 128 + 4 + 1 = 133.
Übertragen in eine Stellenwerttabelle sieht das für die Dualzahl 10000101 dann so aus:
|
Stelle |
2^7 |
2^6 |
2^5 |
2^4 |
2^3 |
2^2 |
2^1 |
2^0 |
|
|
Stellenwert |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
= 10000101 |
|
Ergebnisse |
128 |
+ 0 |
+ 0 |
+ 0 |
+ 0 |
+ 4 |
+ 0 |
+ 1 |
= 133 |
Auch in umgekehrter Reihenfolge lässt sich dieses Verfahren anwenden, also wenn eine Dezimalzahl in eine Dualzahl umgerechnet werden soll.
Beispiel: Dezimalzahl 78
|
|
64 = |
1000000 |
Rest |
14 |
|
+ |
8 = |
1000 |
Rest |
6 |
|
+ |
4 = |
100 |
Rest |
2 |
|
+ |
2 = |
10 |
Rest |
0 |
|
= |
78 = |
1001110 |
|
|
Bei einer Dezimalzahl, in diesem Fall 78, wird zuerst geprüft, welche größtmögliche 2er-Potenz hineinpasst.
- 2^7, also 128 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^6, also 64.
- Die 64 passt in die Dezimalzahl 78. Es bleibt eine Differenz, bzw. ein Rest von 14 übrig.
- Für die 14 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^4, also 16 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^3, also 8.
- Die 8 passt in die Dezimalzahl 14. Es bleibt eine Differenz, bzw. ein Rest von 6 übrig.
- Für die 6 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^3, also 8 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^2, also 4.
- Die 4 passt in die Dezimalzahl 6. Es bleibt eine Differenz, bzw. ein Rest von 2 übrig.
- Für die 2 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^1 passt genau. Es bleibt keine Differenz, bzw. Rest übrig (Rest = 0).
- Jetzt werden die Dualzahlen der jeweils passenden 2er-Potenzen addiert.
Das Ergebnis lautet: Die Dezimalzahl 78 ist als Dualzahl die 1001110.
Beispiel: Dezimalzahl 4379
Auch hier muss zunächst die größtmögliche 2er-Potenz gefunden werden.
In den vorigen Beispielen wurden nur 2er-Potenzen bis 2^7, also bis 128 benötigt. Für die Dezimalzahl 4379 braucht man größere 2er-Potenzen, die sich jedoch ganz einfach ermitteln lassen.
Die nächst höhere 2er-Potenz nach 2^7, also 128, ist 2^8, also 256.
256 ist genau das Doppelte von 128.
Durch die einfache Verdoppelung erhält man immer wieder die nächst höhere 2er-Potenz.
Das Doppelte von 256 ist 512, davon das Doppelte ist 1024, davon das Doppelte ist 2048, usw.
Die Dualzahl der 2er-Potenz 2^7, also 128, ist 10000000, also eine Eins mit sieben Nullen.
Die Dualzahl der nächst höheren 2er-Potenz 2^8, also 256, ist 100000000, also eine Eins mit acht Nullen.
Das Rechnen besteht nur in dem Verdoppeln der 2er-Potenzen, angefangen von 2^1 = 2, dann 2^2 = 4, dann 2^3 = 8, dann 2^4 = 16, dann 32, 64, 128, 256, usw.
Die dazugehörenden Dualzahlen, also z.B. 2^3 = dezimal 8 = dual 1000, ergeben sich durch einfaches Abzählen der Nullen, also z.B. drei Nullen nach der Eins bei 2^3 oder fünf Nullen nach der Eins bei 2^5, usw.
Hier die 2er-Potenzen bis 2^14:
|
2er-Potenz |
Dezimalzahl |
Dualzahl |
|
2^0 |
1 |
1 |
|
2^1 |
2 |
10 |
|
2^2 |
4 |
100 |
|
2^3 |
8 |
1000 |
|
2^4 |
16 |
10000 |
|
2^5 |
32 |
100000 |
|
2^6 |
64 |
1000000 |
|
2^7 |
128 |
10000000 |
|
2^8 |
256 |
100000000 |
|
2^9 |
512 |
1000000000 |
|
2^10 |
1024 |
10000000000 |
|
2^11 |
2048 |
100000000000 |
|
2^12 |
4096 |
1000000000000 |
|
2^13 |
8192 |
10000000000000 |
|
2^14 |
16384 |
100000000000000 |
Nun zurück zur Umrechnung der im Beispiel genannten Dezimalzahl 4379:
- 2^13, also 8192 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^12, also 4096.
- 4096 passt in die Dezimalzahl 4379. Es bleibt ein Rest von 283 übrig.
- Für die 283 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^9, also 512 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^8, also 256.
- 256 passt in die Dezimalzahl 283. Es bleibt ein Rest von 27 übrig.
- Für die 27 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^5, also 32 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^4, also 16.
- Die 16 passt in die Dezimalzahl 27. Es bleibt ein Rest von 11 übrig.
- Für die 11 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^4, also 16 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^3, also 8.
- Die 8 passt in die Dezimalzahl 11. Es bleibt ein Rest von 3 übrig.
- Für die 3 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^2, also 4 ist zu groß, die nächst kleinere 2er-Potenz ist 2^1, also 2.
- Die 2 passt in die Dezimalzahl 3. Es bleibt ein Rest von 1 übrig.
- Für die 1 wird wieder die größtmögliche 2er-Potenz gesucht.
- 2^0, also 1 passt genau. Es bleibt kein Rest übrig (Rest = 0).
- Jetzt werden die Dualzahlen der jeweils passenden 2er-Potenzen addiert.
|
|
4096 = |
1000000000000 |
Rest |
283 |
|
+ |
256 = |
100000000 |
Rest |
27 |
|
+ |
16 = |
10000 |
Rest |
11 |
|
+ |
8 = |
1000 |
Rest |
3 |
|
+ |
2 = |
10 |
Rest |
1 |
|
+ |
1 = |
1 |
Rest |
0 |
|
= |
4379 = |
1000100011011 |
|
|
Das Ergebnis lautet: Die Dezimalzahl 4379 ist als Dualzahl die 1000100011011.
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